Question

函数可导则函数必然连续，但是为什么导函数存在则函数不一定连续？

导函数存在不就是左导数存在，右导数也存在，且二者相等吗。既然左右导数存在，那么不是说明左右可导吗。但是为什么函数不一定连续呢？ 简单来说就是，函数在点a处导数存在，为什么函数是不一定连续呢？ 求大神指点迷津。

Answer 1

从你的疑问，感觉你似乎
混淆了
在一点连续或可导
与
在一点的邻域区间连续或可导
如果函数在某点处可导，则一定在此点处连续。
同样，
如果函数在某区间可导，则一定在此区间连续。
但是，如果函数在某点处可导，则不一定在此点的邻域连续。
例如：
当
x为有理数时，f(x)
=0
当x为无理数时，
f(x)=x^2
可以根据定义验证：
此函数
在x=0处，
连续且可导。但在x=0
的任一邻域都不连续。
“导函数存在则函数不一定连续”
这句不正确。
导函数存在，通常指的是导数在一个区间存在，这样，函数在这个区间也连续。
“函数在点a处导数存在，为什么函数是不一定连续呢？”
函数在a处必连续，但不一定在a的邻域连续。如上例。