
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S7=49,5是a1和a5的等差中项.(1...
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S7=49,5是a1和a5的等差中项.(1)求an与Sn(2)证明:当n≥2时,有1S1+1S2+…+1Sn<74....
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S7=49,5是a1和a5的等差中项. (1)求an与Sn (2)证明:当n≥2时,有1S1+1S2+…+1Sn<74.
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(1)解:设等差数列{an}的公差为d,
由S7=49,5是a1和a5的等差中项,得7a1+7×6d2=49a1+a1+4d=10,解得:a1=1d=2.
∴an=1+2(n-1)=2n-1,Sn=n+2n(n-1)2=n2;
(2)证明:1S1+1S2+…+1Sn=112+122+132+…+1n2.
当n=2时,1S1+1S2=1+14=54<74;
当n≥3时,1S1+1S2+…+1Sn=112+122+132+…+1n2
<54+12×3+13×4+…+1(n-1)n=54+12-13+13-14+…+1n-1-1n
=74-1n<74.
由S7=49,5是a1和a5的等差中项,得7a1+7×6d2=49a1+a1+4d=10,解得:a1=1d=2.
∴an=1+2(n-1)=2n-1,Sn=n+2n(n-1)2=n2;
(2)证明:1S1+1S2+…+1Sn=112+122+132+…+1n2.
当n=2时,1S1+1S2=1+14=54<74;
当n≥3时,1S1+1S2+…+1Sn=112+122+132+…+1n2
<54+12×3+13×4+…+1(n-1)n=54+12-13+13-14+…+1n-1-1n
=74-1n<74.
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