已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=49，5是a1和a5的等差中项．（1...
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=49，5是a1和a5的等差中项．（1）求an与Sn（2）证明：当n≥2时，有1S1+1S2+…+1Sn＜74．...
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=49，5是a1和a5的等差中项． （1）求an与Sn （2）证明：当n≥2时，有1S1+1S2+…+1Sn＜74．
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（1）解：设等差数列{an}的公差为d，
由S7=49，5是a1和a5的等差中项，得7a1+7×6d2=49a1+a1+4d=10，解得：a1=1d=2．
∴an=1+2（n-1）=2n-1，Sn=n+2n(n-1)2=n2；
（2）证明：1S1+1S2+…+1Sn=112+122+132+…+1n2．
当n=2时，1S1+1S2=1+14=54＜74；
当n≥3时，1S1+1S2+…+1Sn=112+122+132+…+1n2
＜54+12×3+13×4+…+1(n-1)n=54+12-13+13-14+…+1n-1-1n
=74-1n＜74．
由S7=49，5是a1和a5的等差中项，得7a1+7×6d2=49a1+a1+4d=10，解得：a1=1d=2．
∴an=1+2（n-1）=2n-1，Sn=n+2n(n-1)2=n2；
（2）证明：1S1+1S2+…+1Sn=112+122+132+…+1n2．
当n=2时，1S1+1S2=1+14=54＜74；
当n≥3时，1S1+1S2+…+1Sn=112+122+132+…+1n2
＜54+12×3+13×4+…+1(n-1)n=54+12-13+13-14+…+1n-1-1n
=74-1n＜74．
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