Question

求1／（1+x^4）的积分

求1／（1+x^4）的积分

Answer 1

1/(1+x^4)的积分：

1/(1+x^4) dx

=(1/2)∫ [(1-x)+(1+x)]/(1+x^4) dx

=(1/2)∫ (1-x)/(1+x^4) dx + (1/2)∫ (1+x)/(1+x^4) dx

不定积分的公式：

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

Answer 2

1+x^4
=
(1+x²)²
-
2x²
=
(1+x²+√2x)(1+x²-√2x)
1/(1+x^4)
=
[1/(1+x²-√2x)
-
1/(1+x²+√2x)]/2√2x
=
1/2√2
*[1/x
+
(√2-x)/(1+x²-√2x)
-
1/x
+
(√2+x)/(1+x²+√2x)]
=
1/4√2
*
[(2x+2√2)/(x²+√2x+1)
-
(2x-2√2)/(x²+1-√2x)]
=
1/4√2
*[(2x+√2)/(x²+√2x+1)
-
(2x-√2)/(x²+1-√2x)
+
√2/(x²+√2x+1)
+
√2/(x²+1-√2x)]
对(2x+√2)/(x²+√2x+1)求积分得ln(x²+√2x+1)
对(2x-√2)/(x²+1-√2x)求积分得ln(x²+1-√2x)
对√2/(x²+√2x+1)求积分得2arctan(√2x+1)
对√2/(x²-√2x+1)求积分得2arctan(√2x-1)
原式
=
1/4√2
*{ln[(x²+√2x+1))/(x²+1-√2x)]
+
2arctan(√2x+1)
+
2arctan(√2x-1)}
+
c

Answer 3

∫
1/(1+x⁴)
dx
=(1/2)∫
(1+x²+1-x²)/(1+x⁴)
dx
=(1/2)∫
(1+x²)/(1+x⁴)
dx
+
(1/2)∫
(1-x²)/(1+x⁴)
dx
分子分母同除以x²
=(1/2)∫
(1/x²
+
1)/(1/x²
+
x²)
dx
-
(1/2)∫
(1
-
1/x²)/(1/x²
+
x²)
dx
分子放到微分符号之后
=(1/2)∫
1/(1/x²
+
x²
-
2
+
2)
d(x-1/x)
-
(1/2)∫
1/(1/x²
+
x²
+
2
-
2)
d(x+1/x)
=(1/2)∫
1/[(x-1/x)²
+
2]
d(x-1/x)
-
(1/2)∫
1/[(x
+
1/x)²
-
2]
d(x+1/x)
=(√2/4)arctan[(x-1/x)/√2]
-
(√2/8)ln|(x
+
1/x
-
√2)/(x
+
1/x
+
√2)
+
C
=(√2/4)arctan[(x-1/x)/√2]
-
(√2/8)ln|(x²
+
1
-
√2x)/(x²
+
1
+
√2x)
+
C
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Answer 4

∫
1/(1+x⁴)
dx
=(1/2)∫
(1+x²+1-x²)/(1+x⁴)
dx
=(1/2)∫
(1+x²)/(1+x⁴)
dx
+
(1/2)∫
(1-x²)/(1+x⁴)
dx
分子分母同除以x²
=(1/2)∫
(1/x²
+
1)/(1/x²
+
x²)
dx
-
(1/2)∫
(1
-
1/x²)/(1/x²
+
x²)
dx
分子放到微分符号之后
=(1/2)∫
1/(1/x²
+
x²
-
2
+
2)
d(x-1/x)
-
(1/2)∫
1/(1/x²
+
x²
+
2
-
2)
d(x+1/x)
=(1/2)∫
1/[(x-1/x)²
+
2]
d(x-1/x)
-
(1/2)∫
1/[(x
+
1/x)²
-
2]
d(x+1/x)
=(√2/4)arctan[(x-1/x)/√2]
-
(√2/8)ln|(x
+
1/x
-
√2)/(x
+
1/x
+
√2)
+
C
=(√2/4)arctan[(x-1/x)/√2]
-
(√2/8)ln|(x²
+
1
-
√2x)/(x²
+
1
+
√2x)
+
C
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