Question

讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性

.讨论下列函数在x=0处的连续性和可导性
讨论下列函数在x=0处的连续性和可导性
y={当x≠0,x^2•sin(1/x).当x=0 ,0}
个人分析：在对y求导后等于 ：2x •sin1/x ―cos1/x
那不管是左导数 还是右导数 cos1/x 应该都是不存在的 可答案为什么说可导呢?
再想问一下为什么把x^ 2 改成x 就是不可导呢?
y={当x≠0,x•sin(1/x).当x=0 ,0}

Answer 1

楼主不要急,这题并不复杂
楼上的错了,楼主算得没错
我来讲解一下
首先这两个函数都在0连续没有问题
|x^2*sin(1/x)|<=|x^2|
后者趋近于0,当x趋近于0
接下来是核心问题
我们设f(x)=x^2•sin(1/x)
从可导的定义出发
lim(x->0) [(f(x)-f(0))/x]=lim(x->0) [x•sin(1/x)]=0
（同上一样的取绝对值的方法可证明为0）
可导
第二个
f(x)=x•sin(1/x)
lim(x->0) [(f(x)-f(0))/x]=lim(x->0)[sin(1/x)]
极限不存在,不可导
那么楼主的方法错在哪里了呢
因为题目问的是可导性,而不是导的连续性（class C1）
在零点可导,然而不连续
楼主想用导的连续性证明可导性,人为加强了条件
记住从定义出发