Question

线性代数 题七 求详解

Answer 1

∵a[1],a[2],...,a[m]线性相关，∴存在不全为0的实数c[1],c[2],...,c[m]使得
c[1]a[1]+c[2]a[2]+...+c[m]a[m]=0，若每个向量a[k]，(k=2,3,...,m)都不能由
a[1],a[2],...,a[k-1]线性表出，则c[m]=0，否则a[m]可被它前面的m-1个向量线性表出
∴c[1]a[1]+c[2]a[2]+...+c[m-1]a[m-1]=0，则c[m-1]=0，否则同样
a[m-1]可被它前面的m-2个向量线性表出，同理c[2]=c[3]=...=c[m-2]=0
∴c[1]a[1]=0，∵a[1]≠0，∴c[1]=0，即c[1]=c[2]=...=c[m]=0
这与c[1],c[2],...,c[m]不全为0矛盾，所以必存在某个向量a[k]，(2≤k≤m)可由
它前面k-1个向量a[1],a[2],...,a[k-1]线性表出