Question

线性代数设向量a1≠0,证明向量组a1,a2,------,am(m≥2）线性无...

线性代数 设向量a1≠0,证明向量组a1,a2,------,am(m≥2）线性无关的充要条件是每个向量ai(i=2,3,----m）都不能由a1,a2,-----ai-1线性表示.

Answer 1

该命题等价于：设向量a1≠0,证明向量组a1,a2,------,am(m≥2）线性相关的充要条件是至少有一个向量ai(i=2,3,----m）能由a1,a2,-----ai-1线性表示.充分性：至少有一个向量ai(i=2,3,----m）能由a1,a2,-----ai-1线性表示,则ai=c1a1+...+ci-1*ai-1,c1a1+...+ci-1*ai-1+(-1)*ai+0*ai+1+...+0*am=0,则向量组a1,a2,------,am(m≥2）线性相关；必要性：向量组a1,a2,------,am(m≥2）线性相关存在不全为零数dn(n=1,2,...,m),使得：d1*a1+d2*a2+...+dm*am=0;由于a1≠0则d2,d3,...,dm不能全为零（若d2,d3,...,dm全为零推得a1=0,与题设矛盾）；d2,d3,...,dm不能全为零,假设其中不为零且角标最大的数为di,则有：di*ai=(-d1)*a1+(-d2)*a2+...+(-di-1)*ai-1;ai=(-d1/di)*a1+(-d2/di)*a2+...+(-di-1/di)*ai-1,得证.综上.