Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足条件：①f（3-x）=f（x）；②f（...

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足条件：①f（3-x）=f（x）；②f（1）=0；③对任意实数x，f（x）≥14a-12恒成立．请解决下列问题： （1）求f（x）的解析式． （2）若g（x）=f（x）-kx在[-2，2]上不单调，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵二次函数f（x）=ax2+bx+c满足条件：①f（3-x）=f（x），即函数图象关于直线x=32对称；
②f（1）=0；
③对任意实数x，f（x）≥14a-12恒成立，即函数存在最小值14a-12．
∴a＞0-b2a=32a+b+c=04ac-b24a=14a-12，
解得：a=1b=-3c=2，
∴f（x）=x2-3x+2，
（2）若g（x）=f（x）-kx=x2-（3+k）x+2在[-2，2]上不单调，
则-2＜3+k2＜2，
解得：-7＜k＜1．