Question

函数f(x)=x^2+2x+a/x.x∈[1,+∞] (1)当a=1/2时求函数f(x)的最小值

(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围。

Answer 1

思路:首先明确一点，最小值出现在极值点或者区域的边界点。在本题中即可能出现在1这个点和f(x)的导数为零的这个点上，所以我们要先求出导数，及1这一点对应值比较一下，但有的题不一定存在极值点，具体因题而异，对于本题解题如下:
f
(x)=x^2+2x+a/x=(x^3+2X^2+a)/x--------------**
f
’(x)=2x+2-a/x^2=(2x^3+2x-a)/x^2
令f
'(x)=0则2x^3+2x-a=0
==>a=2x^3+2x---------@
将@式子代入**式则有此时对应极点值f(x)=3x^2+4x
由于x≥1所以基点值f(x)≥7
而边界值f(1)=
3+a
对于第一问
将a=1/2代入
f(1)=7/2<f(x)的极点值，所以原函数最小值为7/2
对于第二问
思路是保证最小值大于零，最小值的两种可能极值点和边界点都大于零即可
由于f(x)
的极点值恒大于等于7，所以要使f(x)>0，则应使f(1)>0即可
3+a>0
==>a的取值范围是a>-3
呵呵解题思路，及解题步骤都写得很详细了，望对你有所帮助，盼给分