Question

偏导数在某点连续能不能推出原函数在该点的某邻域连续？一阶偏导数在某邻域连续推不出原函数在该邻域连？

问题一我感觉不对，那第一张图应用拉格朗日中值不是要求在闭区间连续吗？问题2我感觉能推出，那第二张图原函数在点某邻域连续不就是多余的条件吗？我看不懂

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Answer 1

问题一，因为偏导数在点（x，y）连续，所以分别存在（\delta x，\delta y）使得偏导数分别在闭区间【x-delta x，x+delta x】或闭区间【y-deltay，y+delta y】连续，就可以应用拉格朗日中值了。

追问

问题一明白了推不出原函数在该点某邻域连续，但被当做x或y的一元函数时则在对应的x或y邻域内连续，多谢！
还有问题二 就是图二，原函数及其一阶偏导数在该点某一邻域连续这个条件能否去掉(或去掉一个)？只保留原函数的二阶偏导数在该点某一邻域连续。

追答

不能，可导函数必须满足连续性

Answer 2

2阶偏导都存在，1阶肯定存在
因为2阶是通过1阶推出来的

追问

你说得对，但好像不是我问的问题，
( ´･ᴗ･` )