Question

求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件

求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件．

Answer 1

解：当a=0时，方程ax
2
+2x+1=0
可化为方程2x+1=0方程存在一个负根
当a≠0时，若关于x的二次方程ax
2
+2x+1=0有根
则△=4-4a≥0，即a≤1
若方程ax
2
+2x+1=0无负根
则x
1
+x
2
=- 2a≥0，x
1
•x
2
= 1a≥0，
这种情况不存在
故关于x的方程ax
2
+2x+1=0，至少有一个负根的充要条件是a≤1
（不懂欢迎追问！）

Answer 2

①a=0?x=-
1
2
适合．
②a≠0时，显然方程没有等于零的根．
若方程有两异号实根，则a＜0；
若方程有两个负的实根，
则必有
1
a
＞0
?
2
a
＜0
△＝4?4a≥0
?0＜a≤1．
综上知，若方程至少有一个负实根，则a≤1．
反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，
因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一负的实根的充要条件是a≤1．