Question

已知某三角形三边长分别为a、b、c；三角形外接圆半径为R求该三角形面积？

有资料说该三角形面积S=abc/4R，说是从海伦-秦九韶公式中推导出来的。我有点看不懂，如何从海伦公式中推导出该公式呢？或者说这个公式究竟是怎么来的？请指教

Answer 1

∵S=½absinC c/sinC=2R
∴S=½abc/2R=abc/4R

追问

如何证明c/sinC=2R？

追答

用的正弦定理。

步骤1.

  在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

  CH=a·sinB

  CH=b·sinA

  ∴a·sinB=b·sinA

  得到

  a/sinA=b/sinB

  同理，在△ABC中，

  b/sinB=c/sinC 

步骤2.

  证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

  如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 

  作直径BD交⊙O于D. 

  连接DA. 

  因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度 

  因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C. 

  所以c/sinC＝c/sinD=BD(直径)=2R

追问

哎，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等我有想过但却不知道是定理，忘的一干二净。。。大学毕业把初中东西都忘完了。。。悲剧。。。工程上用到S=abc/4R这个公式，我就想那是怎么来的，竟越想越不懂了。多谢你的解答，想当年我初中几何满分150我一般都是130分加的呀。。。。不说了都是泪。。。

Answer 2

SΔABC=1/2bcsinA
sinA=a/2R,
∴SΔABC=abc/(4R).

追问

我想知道的是如何就得出那两个三角形是相似三角形，也就是sinA=a/2R是如何证明的？