Question

已知在三角形ABC中,(a-b+c)(sinA+sinB+sinC)=asinC,若b=12,求三角形ABC面积的最大值

若acb成AP，求sinA的值

Answer 1

设a/sinA=b/sinB=c/sinC=k
a=k*sinA,b=k*sinB,c=k*sinC,代入条件等式，得，
k*(sinA-sinB+sinC)*(sinA+sinB+sinC)=k*sinA*sinC
(sinA+sinC)^2-sinB*sinB=sinA*sinC
sinA*sinA+sinA*sinC+sinC*sinC=sin(A+C)*sin(A+C)
=sinA*sinA*cosC*cosC+(1/2)*sin2A*cos2C+cosA*cosA*sinC*sinC
2*sinA*sinA*sinC*sinC+sinA*sinC=2sinA*cosA*sinC*cosC
cosA*cosC-sinA*sinC=1/2
cos(A+C)=-cosB=1/2
cosB=-1/2，sinB=√3/2
2a*c≤a*a+c*c=b*b+2a*b*cosB=b*b-a*c
a*c≤b*b/3=48
S△ABC=(1/2)*a*c*sinB≤12*√3

第二问AP是什么意思？等腰三角形？

追问

等差数列

追答

2c=a+b=a+12
c=6+a/2
b*b=a*a+c*c-2*a*c*cosB
144=a*a+36+6*a+a*a/4+6a+a*a/2
7a*a+48*a-432=0
a=-12,舍去，或a=36/7
sinA=a*sinB/b=3√3/14

追问

第一小题里的条件不能放到第二小题吧

追答

你的给出的题目没有明确哪些条件是第一问独有的，我就把所有条件都用上了。
回过头看看，cosB=-1/2肯定是公用条件，b=12是不是第一问独有条件？

追问

b=12是第一小问里的

追答

结果是相同的，如下，
2c=a+b
c=(a+b)/2
b*b=a*a+c*c-2*a*c*cosB=a*a+c*c+a*c
b*b=a*a+(a+b)^2/4+a*(a+b)/2
3b*b=7a*a+4ab
3=7*(a/b)^2+4*(a/b)
令a/b=t
7t*t+4t-3=0
(7t-3)*(t+1)=0
t=3/7或t=-1舍去
a/b=t=3/7
sinA=sinB*(a/b)=3√3/14