Question

解方程n²=2ⁿ？

Answer 1

解方程n²=2ⁿ

n=2

Answer 2

n=2^(n/2)或n=-2^(n/2)
由于在不考虑复数的情况下，指数函数只可能取正值，此时n可能取正或者负
下面就从理论上分析了，指数函数为一条单调增减的曲线，y=x与这条曲线最多也就2个交点，因此先看左边的情况，这种超越方程只能去试，试出来n=2是一个解。现在考虑指数函数的导数，发现该点的导数值为ln2，比1小，说明指数函数2^(n/2)在n=2增长较慢，说明一定还有另一个解n>2.，事实上另一个点是n=4，因此n=2,n=4均为解。
然后看右边情况，现在问的是，如果整个指数函数完全是负的，还有没有解。我们化简-2^(n/2)=-((√2)^(n)),这条曲线只可能和y=x有一个交点，而且这个交点出现在-0.766666到-0.766664之间，这个超越方程没有解析解。
还有就是考虑复数的情况了，这部分内容纯粹是写着玩的，切莫当真。2^z=e^(z*Ln2),Ln2=ln2+2kπi=ln|2|+iarg2+2kπi,arg2=0，因此2^z=(e^z)^(ln2+2kπi)=((e^z)^(ln2))((e^z)^2kπi),((e^z)^2kπi)=(e^2kπi)^z=(cos(2kπ))^z=1^z=1^x*1^iy=1^iy=(e^(-2kπ))^y=e^(-2kπy），((e^z)^(ln2))=(e^x)^ln2*(cosy+isiny)^ln2
二者相乘，结果为e^xln2*e^(-2kπy)*(cosy+isiny)^ln2=(e^(xln2---2kπy))*cos(ln2*(argz+2kπ))+i(e^(xln2---2kπy))*sin(ln2*(argz+2kπ))，x为z的实部,,y为z的虚部,argz就是z的辐角，只需要分别将计算结果的实部和虚部分别与x^2-y^2和-2xy作比较，看是不是有符合条件的x、y作为解就可以，这只能用数值解法了。如果直接去画出z^2和2^z的图像来比较根本不可能，因为复变函数是复数映射到复数，只能在四维空间里面画，现有条件画不出来。