Question

高数问题，求大神解惑，万分感谢！

Answer 1

那要看不连续函数是什么情形。你所给的例子中，被减数在积分区间上存在无穷间断点，属于带瑕点的广义积分，也叫瑕积分。
对于广义积分，那我们需要按照其敛散性的判断方法来看看该积分是否收敛。如果收敛，那么你说的那些奇偶性什么的还能用；如果发散，那就不能用什么奇偶性了。

瑕积分有一些快速判断收敛的结论：

下面给个仍能用奇偶性的例子

还是考虑对称区间[-1,1]上，被积函数换成奇函数

    f(x)=(sinx)/(x^(4/3))

x=0仍是此函数的瑕点。

但是我们可以看到，当x-->0时，lim x^(1/3)f(x)=1，而1/3比1小，从而该瑕积分是收敛的。

再根据被积函数是奇函数而积分区间又具有对称性可知，最后的积分值为0。

这个问题如果直接计算时根本不现实的。

 

补充一下：定理6中f(x)只在(a,b]中连续，不是在[a,b]上。

Answer 2

函数的运算要在函数的定义域内进行，你所举的函数虽然是奇函数，但是你积分区间明显不属于该函数的定义域，所以这个积分是无意义的。奇偶函数要满足那两个式子是需要在函数的定义域内进行。所以，奇偶函数，不管连续不连续，只要在对称的定义域内进行运算，就应该满足那两个式子。

Answer 3

对的，积分区间是连续的