Question

函数f(x)=(a²x+b)/(x²+1)是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(1/2)=2/5

（1）求a，b的值
（2）证明函数f(x)在（-1，1）上为增函数
（3）解关于x的不等式f(x-1)+f(x)＜0

Answer 1

1)因为f( x）是定义在（-1，1）上的奇函数所以f(2/1)=-2/5,所以(1/2a^2+b)/[(1/2)^2+1]=2/5,( -1/2a^2+b)/(-1/2)^2+1]=-2/5,所以a=正负1b=0,f(x)=x/x^2+1或者f(x)=-x/x^2+1
2）2、
证明：
设：-1＜x1＜x2＜1
f(x1)-f(x2)
=x1/(x1²+1) - x2/(x2²+1)
=[x1(x2²+1) - x2(x1²+1)] / [(x1²+1)(x2²+1)]
=(x1x2²+x1-x2x1²-x2) / [(x1²+1)(x2²+1)]
=[x1x2(x2-x1)-(x2-x1)] / [(x1²+1)(x2²+1)]
=[(x1x2-1)(x2-x1)] / [(x1²+1)(x2²+1)]
∵-1＜x1＜x2＜1，∴x1x2＜1
∴x1x2-1＜0，x2-x1＞0，x1²+1＞0，x2²+1＞0
∴f(x1)-f(x2)=[(x1x2-1)(x2-x1)] / [(x1²+1)(x2²+1)] ＜0
∴f(x1)＜f(x2)
∴f(x)在(-1，1)上单调递增。
3）、个人感觉第三题要加一个“x-1，x∈(-1，1)”
∵x-1，x∈(-1，1)，
∴x∈(0，1)
∵f(x)是奇函数
∴-f(x)=f(-x)
∴f(x-1)+f(x)<0 即：f(x-1)＜-f(x)=f(-x)
又∵f(x)在(-1，1)上单调递增
∴x-1＜-x
∴x＜1/2
又∵0＜t＜x
∴解集为(0，1/2)

如果不加的话：
∵f(x)=x/(1+x^2)。
所以不等式变为：
(x-1)/[1+(x-1)²] +x/(1+xt²)＜0
[(t-1)(x²+1)+t(x-1)² + x]/[(1+(x-1)²)(1+x^2)]＜0
因为分母＞0，
所以(x-1)(x²+1)+x(x-1)²+t＜0
即：2x³-3x²+3x-1＜0
x³+(x-1)³＜0
x³-(1-x)³＜0
x³＜(1-x)³
x＜1-x
2x＜1
x＜1/2