Question

已知函数f（x）=2x3-（a+2）x2+2（a-1）x（a∈R）．（Ⅰ） 若函...

已知函数f（x）=2x3-（a+2）x2+2（a-1）x（a∈R）． （Ⅰ） 若函数y=f（x）在x=-1处的切线方程为4x-y+5=0，求实数a的值． （Ⅱ）当x∈[0，3]时，不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2x3-（a+2）x2+2（a-1）x（a∈R），
∴f′（x）=6x2-2（a+2）x+2（a-1），
∵函数y=f（x）在x=-1处的切线方程为4x-y+5=0，
∴f′（-1）=4，
即6+（a+2）+2（a-1）=4，
解得，a=-1；
（Ⅱ）∵f′（x）=6x2-2（a+2）x+2（a-1）
=2（x-1）（3x-a+1），
∴令f′（x）=0，有x=1，或x=a-1．
当a-1≤1，即a≤2时，x∈[0，3]，f（x）的最小值在x=0，或x=1处取得，
∴不等式f（x）≥0恒成立等价于，
f(0)≥0f(1)≥0，即2-（a+2）+2（a-1）≥0，
解得a=2，
当1＜a-1＜3，即2＜a＜4时，x∈[0，3]，f（x）的最小值在x=0，或x=a-1处取得，
∴不等式f（x）≥纤带液0恒成立等价于，
f(0)≥0f(a-1)≥0，即2（a-1）3-（a+2）（a-1）2+2（a-1）（a-1）≥0，
解得毁物2＜a＜4，
当a-1≥3，即a≥4时，x∈[0，3]，f（x）的最小行尺值在x=0，或x=3处取得，
∴不等式f（x）≥0恒成立等价于，
f(0)≥0f(3)≥0，即54-9a-18+6a-6≥0，
解得4≤a≤10，
综上所述，实数a的取值范围是[2，10]