Question

一道运动学物理题目，需要用到微积分

1.如图设刚开始的距离x0, 求（1）船的速度v(x)；（2）船的加速度a(x)；（3）船的速度和加速度作为时间的函数v(t)、a(t)；（4）船需要多少时间靠岸？（5）如果要求得绳子的张力，还需要哪些条件？

Answer 1

船速：v=dx/dt
绳子速度：v0=dL/dt=d[(x^2+h^2)^1/2]/dt= [x/(x^2+h^2)^1/2]dx/dt
所以 船速：v(x)=v0[(x^2+h^2)^1/2 /x]
a=(dv/dt)=(dv/dx)(dx/dt)=v(dv/dx)=-h^2v0^2/x^3

求对时间t的函数，把 x都换成 [(L0-v0t)²-h²]^½

靠岸时间：t=(L-h)/v0=[(h^2+x0^2)^1/2 -h]/v0

求绳子拉力 还需要知道 船的质量 和 水的阻力

Answer 2

很经典的题目，关键点是把船的速度分解成延绳方向的平动速度和垂直绳方向的转动速度
(1) 保持绳方向速度v0，则船速v(x) = v0 *l / x, 其中 l=√(x^2+h^2), x = √(l^2-h^2)
(2) l0 = √(x0^2+h^2), l(t) = l0 - v0t, 对v(x) 求导，

(3) v(t) = v0 * l / x = v0 *l /√(l^2-h^2) = v0t *(l0 - v0t)/√[(l0 - v0t)^2-h^2]
(4) 船靠岸就是绳变成h 长度t = （l0-h）/ v0
(5) 知道加速度a, 还需要知道船的重量和水的阻力，可以求得张力