function是什么意思
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Function（表示子例程的一般性名词）
Function，表示子例程的一般性名词。在某些编程语言中，它指带返回值的子例程或语句。在一些编程语言中起着关键字的作用。
在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素。
----A variable so related to another that for each value assumed by one there is a value determined for the other.
自变量，函数一个与他量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值。
----A rule of correspondence between two sets such that there is a unique element in the second set assigned to each element in the first set.
函数两组元素一一对应的规则，第一组中的每个元素在第二组中只有唯一的对应量。
函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。
～‖函数的定义：设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作 y=f(x).
数集D称为函数的定义域，由函数对应法则或实际问题的要求来确定。相应的函数值的全体称为函数的值域，对应法则和定义域是函数的两个要素。
functions
数学中的一种对应关系，是从非空集合A到实数集B的对应。简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数。精确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集，f是个对应法则， 若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应 ，就称对应法则f是X上的一个函数，记作y=f（x），称X为函数f（x）的定义域，集合{y|y=f（x），x∈X}为其值域（值域是Y的子集），x叫做自变量，y叫做因变量，习惯上也说y是x的函数。
若先定义映射的概念，可以简单定义函数为：定义在非空数集之间的映射称为函数。
例1：y=sinx X=[0，2π]，Y=[－1，1] ，它给出了一个函数关系。当然 ，把Y改为Y1=（a，b） ，a<b为任意实数，仍然是一个函数关系。
其深度y与一岸边点 O到测量点的距离 x 之间的对应关系呈曲线，这代表一个函数，定义域为[0，b]。以上3例展示了函数的三种表示法：公式法， 表格法和图 像法。
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量X与Y，并且对于X的每一个确定的值，Y都有为一得值与其对应，那么我们就说X是自变量，Y是X的函数。如果当X=A时Y=B，那么B叫做当自变量的值为A时的函数值。
复合函数<IMG src="http://t10.baidu.com/it/u=937021061,4081051841&fm=0&gp=28.jpg" name=pn0>
有3个变量，y是u的函数，y=ψ（u），u是x的函数，u=f（x），往往能形成链：y通过中间变量u构成了x的函数：
x→u→y，这要看定义域：设ψ的定义域为U。f的值域为U，当U*ÍU时，称f与ψ 构成一个复合函数， 例如 y=lgsinx，x∈（0，π）。此时sinx>0 ，lgsinx有意义。但如若规定x∈（－π，0），此时sinx<0 ，lgsinx无意义，就成不了复合函数。
反函数
就关系而言，一般是双向的 ，函数也如此 ，设y=f（x）为已知的函数，若对每个y∈Y，有唯一的x∈X，使f（x）=y，这是一个由y找x的过程，即x成了y的函数 ，记为x=f -1（y）。称f -1为f的反函数。习惯上用x表示自变量，故这个函数仍记为y=f -1（x） ，例如 y=sinx与y=arcsinx 互为反函数。在同一坐标系中，y=f（x）与y=f -1（x）的图形关于直线y=x对称。
隐函数
若能由函数方程F（x，y）=0 确定y为x的函数y=f（x），即F（x，f（x））≡0，就称y是x的隐函数。
思考：隐函数是否为函数？因为在其变化的过程中并不满足“一对一”和“多对一”
多元函数
设点（x1，x2，…，xn） ∈GÍRn，UÍR1 ，若对每一点（x1，x2，…，xn）∈G，由某规则f有唯一的 u∈U与之对应：f：G→U，u=f（x1，x2，…，xn），则称f为一个n元函数，G为定义域，U为值域。
基本初等函数及其图像幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数。
幂函数
y=xμ（μ≠0，μ为任意实数）定义域：μ为正整数时为（－∞，+∞），μ为负整数时是（－∞，0）∪（0，+∞）；μ=（α为整数），当α是奇数时为（－∞，+∞），当α是偶数时为（0，+∞）；μ=p/q,p,q互素，作为的复合函数进行讨论。略图如图2、图3。
指数函数
y=ax（a>0 ，a≠1），定义成为（－∞，+∞），值域为（0 ，+∞），a>0 时是严格单调增加的函数（即当x2>x1时，） ，00）， 称a为底 ， 定义域为（0，+∞），值域为（－∞，+∞）。a>1 时是严格单调增加的，0<a<1时是严格单减的。不论a为何值，对数函数的图形均过点（1，0），对数函数与指数函数互为反函数。如图5。
以10为底的对数称为常用对数 ，简记为lgx。在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数，即自然对数，记作lnx。三角函数 见表2。
正弦函数、余弦函数如图6，图7所示。反三角函数 见表3。双曲正、余弦如图8。双曲函数 双曲正弦（ex－e-x），双曲余弦?（ex+e-x），双曲正切（ex－e-x）/（ex+e-x） ，双曲余切（ex+e-x）/（ex－e-x）。
补充
在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素（这只是一元函数f（x）=y的情况，请按英文原文把普遍定义给出，谢谢）。函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。
术语函数，映射，对应，变换通常都是同一个意思。二次函数定义和性质 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c
二次函数的三个通式：
y=ax^2+bx+c （一般式，a≠0，对称轴：x=-b/（2a））
y=a(x-h)^2+k （顶点式，a≠0，对称轴：x=h）
y=a(x-x_1）（x-x_2） （交点式，a≠0，对称轴：x=|x_2-x_1|/2）
说明：在一般式中，抛物线与y轴相交的点的纵坐标值为c，抛物线顶点为[-b/（2a），（4ac-b^2）/（4a)]
在顶点式中，抛物线的顶点为（h,k）。
在交点式中，抛物线与x轴交与（x_1,0），（x_2,0）两点。（前提是当y等于0时，Δ大于0，当Δ等于0时，x_1=x_2）
（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大。）
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量，y是x的函数
二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）] 对于二次函数y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为 (-b/2a，（4ac-b^2）/4a)</CA>
交点式：y=a(x-x?)(x-x) [仅限于与x轴有交点A（x? ，0）和 B（x?，0）的抛物线]
其中x1，2= -b±√b^2－4ac
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：
______
h=-b/2a k=（4ac-b^2）/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
二次函数的图像
在<a href="#">；平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
抛物线的性质
⒈抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
⒉抛物线有一个顶点P，坐标为P (-b/2a ，（4ac-b^2）/4a)
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
⒊二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
⒋一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。
⒌常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
⒍抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
_______
Δ= b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
即ax^2+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式
y=ax^2
y=a(x-h)^2
y=a(x-h)^2+k
y=ax^2+bx+c
顶点坐标
（0，0)
（h，0)
（h，k)
（-b/2a，sqrt[4ac-b^2]/4a)
对 称 轴
x=0
x=h
x=h
x=-b/2a
当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象；
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．
2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0）的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是（-b/2a，[4ac-b^2]/4a）．
3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0），若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小．
4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
⑴图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；
⑵当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0）和B(x?，0），其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
（a≠0）的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点）
当△=0．图象与x轴只有一个交点；
当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．
5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0），则当x= -b/2a时，y最小（大）值=（4ac-b^2）/4a．
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．
6．用待定系数法求二次函数的解析式
⑴当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0）．
⑵当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0）．
⑶当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0）．
7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．
中考典例
1．（北京西城区）抛物线y=x2-2x+1的对称轴是（ ）
（A）直线x=1 （B）直线x=-1 （C）直线x=2 （D）直线x=-2
考点：二次函数y=ax2+bx+c的对称轴．
评析：因为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴方程是：y=-，将已知抛物线中的a=1，b=-2代入，求得x=1，故选项A正确．
另一种方法：可将抛物线配方为y=a(x-h)2+k的形式，对称轴为x=h，已知抛物线可配方为y=(x-1）2，所以对称轴x=1，应选A．
2．（北京东城区）有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： ．
考点：二次函数y=ax2+bx+c的求法
评析：设所求解析式为y=a(x-x1）（x-x2），且设x1<x2，则其图象与x轴两交点分别是A(x1，0），B(x2，0），与y轴交点坐标是（0，ax1x2）.
∵抛物线对称轴是直线x=4，
∴x2-4=4 - x1即：x1+ x2=8 ①
∵S△ABC=3，∴（x2- x1）·|a x1 x2|= 3，
即：x2- x1= ②
①②两式相加减，可得：x2=4+，x1=4-
∵x1，x2是整数，ax1x2也是整数，∴ax1x2是3的约数，共可取值为：±1，±3。
当ax1x2=±1时，x2=7，x1=1，a=±
当ax1x2=±3时，x2=5，x1=3，a=±
因此，所求解析式为：y=±（x-7）（x-1）或y=±（x-5）（x-3）
即：y=x2-x+1 或y=-x2+x-1 或y=x2-x+3 或y=-x2+x-3
说明：本题中，只要填出一个解析式即可，也可用猜测验证法。例如：猜测与x轴交点为A（5，0），B（3，0）。再由题设条件求出a，看C是否整数。若是，则猜测得以验证，填上即可。
5．（河北省）如图13-28所示，二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为（ ）
A、6 B、4 C、3 D、1
考点：二次函数y=ax2+bx+c的图象及性质的运用。
评析：由函数图象可知C点坐标为（0，3），再由x2-4x+3=0可得x1=1，x2=3所以A、B两点之间的距离为2。那么△ABC的面积为3，故应选C。
图13-28
6．（安徽省）心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43(0<x<30）。y值越大，表示接受能力越强。
⑴x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
⑵第10分时，学生的接受能力是什么？
⑶第几分时，学生的接受能力最强？
考点：二次函数y=ax2+bx+c的性质。
评析：将抛物线y=-0.1x2+2.6x+43变为顶点式为：y=-0.1(x-13）2+59.9，根据抛物线的性质可知开口向下，当x≤13 时，y随x的增大而增大，当x>13时，y随x的增大而减小。而该函数自变量的范围为：0≤x≤30，所以两个范围应为0≤x≤13； 13≤x≤30。将x=10代入，求函数值即可。由顶点解析式可知在第13分钟时接受能力为最强。解题过程如下：
解：⑴y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13）2+59.9
所以，当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强。
当13<x≤30时，学生的接受能力逐步下降。
⑵当x=10时，y=-0.1（10-13）2+59.9=59。
第10分时，学生的接受能力为59。
⑶x=13时，y取得最大值，
所以，在第13分时，学生的接受能力最强。
9．（河北省）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：
⑴当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
⑵设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
⑶商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
解：⑴当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500–（55–50）×10=450（千克），所以月销售利润为
：（55–40）×450=6750（元）．
⑵当销售单价定为每千克x元时，月销售量为：[500–（x–50）×10]千克而每千克的销售利润是：（x–40）元，所以月销售利润为：
y=(x–40）[500–（x–50）×10]=(x–40）（1000–10x)=–10x2+1400x–40000（元），
∴y与x的函数解析式为：y =–10x2+1400x–40000．
⑶要使月销售利润达到8000元，即y=8000，∴–10x2+1400x–40000=8000，
即：x2–140x+4800=0，
解得：x1=60，x2=80．
当销售单价定为每千克60元时，月销售量为：500–（60–50）×10=400（千克），月销售成本为：
40×400=16000（元）；
当销售单价定为每千克80元时，月销售量为：500–（80–50）×10=200（千克），月销售单价成本为：
40×200=8000（元）；
由于8000<10000<16000，而月销售成本不能超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元．
Function，表示子例程的一般性名词。在某些编程语言中，它指带返回值的子例程或语句。在一些编程语言中起着关键字的作用。
在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素。
----A variable so related to another that for each value assumed by one there is a value determined for the other.
自变量，函数一个与他量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值。
----A rule of correspondence between two sets such that there is a unique element in the second set assigned to each element in the first set.
函数两组元素一一对应的规则，第一组中的每个元素在第二组中只有唯一的对应量。
函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。
～‖函数的定义：设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作 y=f(x).
数集D称为函数的定义域，由函数对应法则或实际问题的要求来确定。相应的函数值的全体称为函数的值域，对应法则和定义域是函数的两个要素。
functions
数学中的一种对应关系，是从非空集合A到实数集B的对应。简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数。精确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集，f是个对应法则， 若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应 ，就称对应法则f是X上的一个函数，记作y=f（x），称X为函数f（x）的定义域，集合{y|y=f（x），x∈X}为其值域（值域是Y的子集），x叫做自变量，y叫做因变量，习惯上也说y是x的函数。
若先定义映射的概念，可以简单定义函数为：定义在非空数集之间的映射称为函数。
例1：y=sinx X=[0，2π]，Y=[－1，1] ，它给出了一个函数关系。当然 ，把Y改为Y1=（a，b） ，a<b为任意实数，仍然是一个函数关系。
其深度y与一岸边点 O到测量点的距离 x 之间的对应关系呈曲线，这代表一个函数，定义域为[0，b]。以上3例展示了函数的三种表示法：公式法， 表格法和图 像法。
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量X与Y，并且对于X的每一个确定的值，Y都有为一得值与其对应，那么我们就说X是自变量，Y是X的函数。如果当X=A时Y=B，那么B叫做当自变量的值为A时的函数值。
复合函数<IMG src="http://t10.baidu.com/it/u=937021061,4081051841&fm=0&gp=28.jpg" name=pn0>
有3个变量，y是u的函数，y=ψ（u），u是x的函数，u=f（x），往往能形成链：y通过中间变量u构成了x的函数：
x→u→y，这要看定义域：设ψ的定义域为U。f的值域为U，当U*ÍU时，称f与ψ 构成一个复合函数， 例如 y=lgsinx，x∈（0，π）。此时sinx>0 ，lgsinx有意义。但如若规定x∈（－π，0），此时sinx<0 ，lgsinx无意义，就成不了复合函数。
反函数
就关系而言，一般是双向的 ，函数也如此 ，设y=f（x）为已知的函数，若对每个y∈Y，有唯一的x∈X，使f（x）=y，这是一个由y找x的过程，即x成了y的函数 ，记为x=f -1（y）。称f -1为f的反函数。习惯上用x表示自变量，故这个函数仍记为y=f -1（x） ，例如 y=sinx与y=arcsinx 互为反函数。在同一坐标系中，y=f（x）与y=f -1（x）的图形关于直线y=x对称。
隐函数
若能由函数方程F（x，y）=0 确定y为x的函数y=f（x），即F（x，f（x））≡0，就称y是x的隐函数。
思考：隐函数是否为函数？因为在其变化的过程中并不满足“一对一”和“多对一”
多元函数
设点（x1，x2，…，xn） ∈GÍRn，UÍR1 ，若对每一点（x1，x2，…，xn）∈G，由某规则f有唯一的 u∈U与之对应：f：G→U，u=f（x1，x2，…，xn），则称f为一个n元函数，G为定义域，U为值域。
基本初等函数及其图像幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数。
幂函数
y=xμ（μ≠0，μ为任意实数）定义域：μ为正整数时为（－∞，+∞），μ为负整数时是（－∞，0）∪（0，+∞）；μ=（α为整数），当α是奇数时为（－∞，+∞），当α是偶数时为（0，+∞）；μ=p/q,p,q互素，作为的复合函数进行讨论。略图如图2、图3。
指数函数
y=ax（a>0 ，a≠1），定义成为（－∞，+∞），值域为（0 ，+∞），a>0 时是严格单调增加的函数（即当x2>x1时，） ，00）， 称a为底 ， 定义域为（0，+∞），值域为（－∞，+∞）。a>1 时是严格单调增加的，0<a<1时是严格单减的。不论a为何值，对数函数的图形均过点（1，0），对数函数与指数函数互为反函数。如图5。
以10为底的对数称为常用对数 ，简记为lgx。在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数，即自然对数，记作lnx。三角函数 见表2。
正弦函数、余弦函数如图6，图7所示。反三角函数 见表3。双曲正、余弦如图8。双曲函数 双曲正弦（ex－e-x），双曲余弦?（ex+e-x），双曲正切（ex－e-x）/（ex+e-x） ，双曲余切（ex+e-x）/（ex－e-x）。
补充
在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素（这只是一元函数f（x）=y的情况，请按英文原文把普遍定义给出，谢谢）。函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。
术语函数，映射，对应，变换通常都是同一个意思。二次函数定义和性质 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c
二次函数的三个通式：
y=ax^2+bx+c （一般式，a≠0，对称轴：x=-b/（2a））
y=a(x-h)^2+k （顶点式，a≠0，对称轴：x=h）
y=a(x-x_1）（x-x_2） （交点式，a≠0，对称轴：x=|x_2-x_1|/2）
说明：在一般式中，抛物线与y轴相交的点的纵坐标值为c，抛物线顶点为[-b/（2a），（4ac-b^2）/（4a)]
在顶点式中，抛物线的顶点为（h,k）。
在交点式中，抛物线与x轴交与（x_1,0），（x_2,0）两点。（前提是当y等于0时，Δ大于0，当Δ等于0时，x_1=x_2）
（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大。）
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量，y是x的函数
二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）] 对于二次函数y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为 (-b/2a，（4ac-b^2）/4a)</CA>
交点式：y=a(x-x?)(x-x) [仅限于与x轴有交点A（x? ，0）和 B（x?，0）的抛物线]
其中x1，2= -b±√b^2－4ac
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：
______
h=-b/2a k=（4ac-b^2）/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
二次函数的图像
在<a href="#">；平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
抛物线的性质
⒈抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
⒉抛物线有一个顶点P，坐标为P (-b/2a ，（4ac-b^2）/4a)
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
⒊二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
⒋一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。
⒌常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
⒍抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
_______
Δ= b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
即ax^2+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式
y=ax^2
y=a(x-h)^2
y=a(x-h)^2+k
y=ax^2+bx+c
顶点坐标
（0，0)
（h，0)
（h，k)
（-b/2a，sqrt[4ac-b^2]/4a)
对 称 轴
x=0
x=h
x=h
x=-b/2a
当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象；
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．
2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0）的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是（-b/2a，[4ac-b^2]/4a）．
3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0），若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小．
4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
⑴图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；
⑵当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0）和B(x?，0），其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
（a≠0）的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点）
当△=0．图象与x轴只有一个交点；
当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．
5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0），则当x= -b/2a时，y最小（大）值=（4ac-b^2）/4a．
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．
6．用待定系数法求二次函数的解析式
⑴当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0）．
⑵当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0）．
⑶当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0）．
7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．
中考典例
1．（北京西城区）抛物线y=x2-2x+1的对称轴是（ ）
（A）直线x=1 （B）直线x=-1 （C）直线x=2 （D）直线x=-2
考点：二次函数y=ax2+bx+c的对称轴．
评析：因为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴方程是：y=-，将已知抛物线中的a=1，b=-2代入，求得x=1，故选项A正确．
另一种方法：可将抛物线配方为y=a(x-h)2+k的形式，对称轴为x=h，已知抛物线可配方为y=(x-1）2，所以对称轴x=1，应选A．
2．（北京东城区）有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： ．
考点：二次函数y=ax2+bx+c的求法
评析：设所求解析式为y=a(x-x1）（x-x2），且设x1<x2，则其图象与x轴两交点分别是A(x1，0），B(x2，0），与y轴交点坐标是（0，ax1x2）.
∵抛物线对称轴是直线x=4，
∴x2-4=4 - x1即：x1+ x2=8 ①
∵S△ABC=3，∴（x2- x1）·|a x1 x2|= 3，
即：x2- x1= ②
①②两式相加减，可得：x2=4+，x1=4-
∵x1，x2是整数，ax1x2也是整数，∴ax1x2是3的约数，共可取值为：±1，±3。
当ax1x2=±1时，x2=7，x1=1，a=±
当ax1x2=±3时，x2=5，x1=3，a=±
因此，所求解析式为：y=±（x-7）（x-1）或y=±（x-5）（x-3）
即：y=x2-x+1 或y=-x2+x-1 或y=x2-x+3 或y=-x2+x-3
说明：本题中，只要填出一个解析式即可，也可用猜测验证法。例如：猜测与x轴交点为A（5，0），B（3，0）。再由题设条件求出a，看C是否整数。若是，则猜测得以验证，填上即可。
5．（河北省）如图13-28所示，二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为（ ）
A、6 B、4 C、3 D、1
考点：二次函数y=ax2+bx+c的图象及性质的运用。
评析：由函数图象可知C点坐标为（0，3），再由x2-4x+3=0可得x1=1，x2=3所以A、B两点之间的距离为2。那么△ABC的面积为3，故应选C。
图13-28
6．（安徽省）心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43(0<x<30）。y值越大，表示接受能力越强。
⑴x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
⑵第10分时，学生的接受能力是什么？
⑶第几分时，学生的接受能力最强？
考点：二次函数y=ax2+bx+c的性质。
评析：将抛物线y=-0.1x2+2.6x+43变为顶点式为：y=-0.1(x-13）2+59.9，根据抛物线的性质可知开口向下，当x≤13 时，y随x的增大而增大，当x>13时，y随x的增大而减小。而该函数自变量的范围为：0≤x≤30，所以两个范围应为0≤x≤13； 13≤x≤30。将x=10代入，求函数值即可。由顶点解析式可知在第13分钟时接受能力为最强。解题过程如下：
解：⑴y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13）2+59.9
所以，当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强。
当13<x≤30时，学生的接受能力逐步下降。
⑵当x=10时，y=-0.1（10-13）2+59.9=59。
第10分时，学生的接受能力为59。
⑶x=13时，y取得最大值，
所以，在第13分时，学生的接受能力最强。
9．（河北省）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：
⑴当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
⑵设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
⑶商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
解：⑴当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500–（55–50）×10=450（千克），所以月销售利润为
：（55–40）×450=6750（元）．
⑵当销售单价定为每千克x元时，月销售量为：[500–（x–50）×10]千克而每千克的销售利润是：（x–40）元，所以月销售利润为：
y=(x–40）[500–（x–50）×10]=(x–40）（1000–10x)=–10x2+1400x–40000（元），
∴y与x的函数解析式为：y =–10x2+1400x–40000．
⑶要使月销售利润达到8000元，即y=8000，∴–10x2+1400x–40000=8000，
即：x2–140x+4800=0，
解得：x1=60，x2=80．
当销售单价定为每千克60元时，月销售量为：500–（60–50）×10=400（千克），月销售成本为：
40×400=16000（元）；
当销售单价定为每千克80元时，月销售量为：500–（80–50）×10=200（千克），月销售单价成本为：
40×200=8000（元）；
由于8000<10000<16000，而月销售成本不能超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元．
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function ['fʌŋkʃən] \x0d\x0an. \x0d\x0a官能，机能 \x0d\x0a功能，作用；目的，用途 \x0d\x0a职责，职业，工作 \x0d\x0a典礼，盛大的集会(或宴会、宗教仪式) \x0d\x0a依赖别事物的事物，随别事物而变化的事物，应变量 \x0d\x0a【语言学】职能；功能 \x0d\x0a【数学】函数[亦称作 correspondence,map,mapping,transformation,multiple-value function] \x0d\x0a【化学】(化合物)特性 \x0d\x0avi. \x0d\x0a(器官等)活动；(机器等)运行；(有效地)起作用，发挥机能： \x0d\x0aThe machine doesn't function.\x0d\x0a\x0d\x0a那机器不能运行了。\x0d\x0a有作用，用以；当；行使职责；为?尽职；担任工作(常与 as连用)： \x0d\x0aMary functioned as teacher.\x0d\x0a\x0d\x0a玛丽担任教师的职务。\x0d\x0a近义词: capacity , duty , office
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