Question

大学高数，如图。这道题怎么证明？

Answer 1

构造函数F(x)=f(x)-x
则F(0)=f(0), F(1)=f(1)-1
因为0<f(x)<1
则：f(0)>0, f(1)-1<0
则F(0)*F(1)<0
由零点定理，必存在x∈(0,1)使得F(x)=0，即f(x)=x
而F'(x)=f'(x)-1
因为f(x)可导，且f'(x)≠1,则
f'(x)>0或者<0
即F(x)在x∈(0,1)为单调函数
所以，F(x)=0只有唯一零点。