Question

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，点M，N分别为A1B和B1C1的中点．

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，点M，N分别为A1B和B1C1的中点．（1）证明：A1M⊥MC；（2）证明：MN∥平面A1ACC1；（3）求二面角N-MC-A的正弦值．

Answer 1

证明：（1）证法一：由题设知，AC⊥AA₁，
又∵∠BAC=90°，∴AC⊥AB
∵AA₁?平面AA₁BB₁，AB?平面AA₁BB₁，AA₁∩AB=A
∴AC⊥平面AA₁BB₁，
∵A₁M?平面AA₁BB₁，∴A₁M⊥AC．…（1分）
又∵四边形AA₁BB₁为正方形，M为A₁B的中点，∴A₁M⊥MA…（2分）
∵AC∩MA=A，AC?平面MCA，MA?平面MCA
∴A₁M⊥平面MCA…（3分）
又MC?平面MCA…（4分）∴A₁M⊥MC．…（5分）
证法二：（向量法） 以点A为坐标原点，分别以直线AB，AC，AA₁为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示．…（1分）
于是C（0，2，0），A₁（0，0，2），M（1，0，1），N（1，1，2）．…（2分）
∴

A1M

＝(1，0，?1)，

MC

＝(?1，2，?1)…（3分）
∴

A1M

?

MC

＝(?1)×1+0×2+(?1)×(?1)＝0…（4分）∴A₁M⊥MC．…（5分）
（2）证法一：连接AB₁，AC₁，…（6分）
由题意知，点M，N分别为AB₁和B₁C₁的中点，∴MN∥AC₁．…（7分）
又MN?平面A₁ACC₁，AC₁?平面A₁ACC₁，…（8分）
∴MN∥平面A₁ACC₁．…（9分）
证法二：取A₁B₁中点P，连MP，NP，而M，N
分别为AB₁与B₁C₁的中点，∴MP∥AA₁，MP?平面A₁ACC₁，AA₁?平面A₁ACC₁∴MP∥平面A₁ACC₁，
同理可证NP∥平面A₁ACC₁…（6分）
又MP∩NP=P∴平面MNP∥平面A₁ACC₁．…（7分）
∵MN?平面MNP，…（8分）
∴MN∥平面A₁ACC₁．…（9分）
证法三（向量法）：以点A为坐标原点，分别以直线AB，AC，AA₁为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示．于是A（0，0，0），B（2，0，0），M（1，0，1），N（1，1，2）．
∵AB⊥AC，AB⊥AA₁，AC∩AA₁=A
∴AB⊥平面A₁ACC₁
∴向量

AB

＝(2，0，0)是平面A₁ACC₁的一个法向量    …（6分）
∵

MN

＝(0，1，1)
∴<