Question

如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，BD

如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，BD= OA= ，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°。（1）直接写出D点的坐标；（2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；（3）当△AEF是等腰三角形时，将△AEF沿EF折叠，得到△A′EF，求△A′EF与五边形OEFBC重叠部分的面积。 备用图

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Answer 1

解：（1）D点的坐标是 ；
（2）连结OD，如图（1），由结论（1）知：D在∠COA的平分线上， 则∠DOE=∠COD=45°， 又在梯形DOAB中，∠BAO=45°， ∴OD=AB=3 由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°， 又∠2=∠DEA-45°， ∴∠1=∠2， ∴△ODE∽△AEF， ∴ ， 即： ∴y与x的解析式为： ；	图1
（3）当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况， ①当EF=AF时，如图（2）， ∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°， ∴△AEF为等腰直角三角形，D在A′E上（A′E⊥OA），B在A′F上（A′F⊥EF）， ∴△A′EF与五边形OEFBC重叠的面积为四边形EFBD的面积， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ （也可用 ）， ②当EF=AE时，如图（3）， 此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF面积， ∠DEF=∠EFA=45° ， DE∥AB ， 又DB∥EA， ∴四边形DEAB是平行四边形， ∴AE=DB= ， ∴ ， ③当AF=AE时，如图（4）， 四边形AEA′F为菱形且△A′EF在五边形OEFBC内， ∴此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF面积， 由（2）知△ODE∽△AEF，则OD=OE=3， ∴AE=AF=OA-OE= ， 过F作FH⊥AE于H，则 ∴ 综上所述，△A′EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为 或1或 。	图2 图3 图4