Question

如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点A（2，-3），与x轴交于点B，且与直线 y=3x- 8 3 平行．

如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点A（2，-3），与x轴交于点B，且与直线 y=3x- 8 3 平行．（1）求：直线l的函数解析式及点B的坐标；（2）如直线l上有一点M（a，-6），过点M作x轴的垂线，交直线 y=3x- 8 3 于点N，在线段MN上求一点P，使△PAB是直角三角形，请求出点P的坐标．

Answer 1

（1）设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵直线l平行于y=3x- 8 3 ， ∴k=3， ∵直线l经过点A（2，-3）， ∴-3=2×3+b，b=-9， ∴直线l的解析式为y=3x-9，点B坐标为（3，0）； （2）∵点M（a，-6）在直线l上， ∴a=1，则可设点P（1，y）， ∵ N(1， 1 3 ) ，∴y的取值范围是-6≤y≤ 1 3 ， 当AB为斜边时，PA 2 +PB 2 =AB 2 ，即1+（y+3） 2 +4+y 2 =10， 解得y 1 =-1，y 2 =-2，∴P（1，-1），P（1，-2）， 当PB为斜边时，PA 2 +AB 2 =PB 2 ，即1+（y+3） 2 +10=4+y 2 ， 解得y=- 8 3 ，∴ P(1，- 8 3 ) ， 当PA为斜边时，PB 2 +AB 2 =PA 2 ，即10+4+y 2 =1+（y+3） 2 ， 解得y= 2 3 ，（舍去）， ∴综上所述，点P的坐标为P 1 （1，-1），P 2 （1，-2），P 3 (1，- 8 3 )