Question

设曲面∑是锥面x=y2+z2与两球面x2+y2+z2=1，x2+y2+z2=2所围立体表面的外侧，计算曲面积分?x3dydz+（y3+f

设曲面∑是锥面x=y2+z2与两球面x2+y2+z2=1，x2+y2+z2=2所围立体表面的外侧，计算曲面积分?x3dydz+（y3+f（yz））dzdx+（z3+f（yz））dxdy，其中f（u）是连续可微的奇函数．

Answer 1

设∑所围成的区域为Ω，则由高斯公式，得
原式=

∫∫∫

Ω

[3(x2+y2+z2)+zf′(yz)+yf′(yz)]dxdydz
=3

∫∫∫

Ω

(x2+y2+z2)dxdydz+

∫∫∫

Ω

yf′(yz)dxdydz+

∫∫∫

Ω

zf′(yz)dxdydz
由于f（u）是连续可微的奇函数，因而得到f′（u）是偶函数
而Ω是关于y=0对称的，yf′（yz）是关于y的奇函数，因此

∫∫∫

Ω

yf′(yz)dxdydz＝0
Ω是关于z=0对称的，zf′（yz）是关于y的奇函数，因此

∫∫∫

Ω

zf′(yz)dxdydz＝0
∴原式=3

∫∫∫

Ω

(x2+y2+z2)dxdydz
=3

∫

2π 0

dθ

∫

π 4 0

sinφdφ

∫

2 1

r4dr
=

6

5

(

9

2

2

?5)π