Question

已知sinα+sinβ=1，cosα+cosβ=3．（1）求cos（α-β）的值；（2）求cos（α+β）的值

已知sinα+sinβ=1，cosα+cosβ=3．（1）求cos（α-β）的值；（2）求cos（α+β）的值．

Answer 1

（1）因为sinα+sinβ=1  ①cosα+cosβ=

3

 ②
两式平方相加可得：得sin²α+2sinαsinβ+sin²β+cos²α+2sinαsinβ+cos²β=4 （3分）
即2+2cos（α-β）=4，所以cos（α-β）=1；（6分）
（2）②²-①²得cos²α-sin²α+2cosαcosβ-2sinαsinβ+cos²β-sin²β=2
即cos2α+2cos（α+β）+cos2β=2  （8分）
故cos[（α+β）+（α-β）]+2cos（α+β）+cos[（α+β）-（α-β）]=2  （12分）
化简得cos（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）=1，
由（1）得cos(α+β)＝

1

2

．（14分）