如图，在四棱锥P-ABCD中，地面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点．（Ⅰ）求证：PA∥

如图，在四棱锥P-ABCD中，地面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面EDB；（Ⅱ）求证：DE⊥平面PBC；（Ⅲ... 如图，在四棱锥P-ABCD中，地面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面EDB；（Ⅱ）求证：DE⊥平面PBC；（Ⅲ）求二面角E-BD-C的平面角的余弦值． 展开
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1个回答
#热议# 网上掀起『练心眼子』风潮，真的能提高情商吗？
wolf160pLb
推荐于2016-12-01 · 超过70用户采纳过TA的回答
知道答主
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解答：（Ⅰ）证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，建立空间直角坐标系，
连结AC，设AC交BD于点G，
连结EG，依题意得A（1，0，0），P（0，0，1），E（0，
1
2
，
1
2
），
∵底面ABCD是正方形，∴G是正方形ABCD的中点，∴G（
1
2
，
1
2
，0），
∴
PA
＝(1，0，?1)，
EG
＝(
1
2
，0，?
1
2
)，
∴
PA
＝2
EG
，即PA∥EG，
∵EG?平面EDB，PA不包含于平面EDB，
∴PA∥平面EDB．
（Ⅱ）证明：依题意B（1，1，0），C（0，1，0），
BC
＝(?1，0，0)，
PC
＝(0，1，?1)，
又
DE
＝(0，
1
2
，
1
2
)，
∴
BC
?
DE
＝0，
PC
?
DE
＝0+
1
2
?
1
2
＝0，
∴BC⊥DE，PC⊥DE，
又BC∩PC=C，∴DE⊥平面PBC．
（Ⅲ）解：设平面EDB的法向量
n
＝(x，y，z)，
DE
＝(0，
1
2
，
1
2
)，
DB
＝(1，1，0)，
∴
n
?
DE
＝
1
2
y+
1
2
z＝0
n
?
DB
＝x+y＝0
，
取x=1，得
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