Question

设A是抛物线y=ax2（a＞0）准线上任意一点，过A点作抛物线的切线l1，l2，切点为P，Q．（1）证明：直线PQ过

设A是抛物线y=ax2（a＞0）准线上任意一点，过A点作抛物线的切线l1，l2，切点为P，Q．（1）证明：直线PQ过定点；（2）设PQ中点为M，求|AM|最小值．

Answer 1

解答：（1）设P，Q坐标分别为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）则两条切线l₁，l₂的斜率为分别为
k₁=f′（x₁）=2ax₁，k₂=f′（x₂）=2ax₂，
故切线l₁，l₂的方程为

y?ax12＝2ax1(x?x1) y?ax22＝2ax2(x?x2)

，即

y＝2ax1x?ax12 y＝2ax2x?ax22

，
解得

x＝ 1 2 (x1+x2) y＝ax1x2

，
得A点的坐标为（

1

2

（x₁+x₂），ax₁x₂），
因为A在准线上故ax₁x₂=-

1

4a

，则x₁x₂=?

1

4a2

，
设PQ的方程为y=kx+b代入y=ax²得ax²-kx-b=0，
得x₁+x₂=

k

a

，x₁x₂=-

b

a

，
故x₁x₂=?

1

4a2

=-

b

a

，得b=

1

4a

，
PQ的方程可写为y=kx+

1

4a

，
故过点（0，

1

4a

）．
（2）∵k₁k₂=4a²x₁x₂=4a²（?

1

4a2

）=-1，
∴两条切线l₁⊥l₂ 则|AM|=

1

2

|PQ|，
∴|AM|_min=

1

2

|PQ|=

1

2

×

1

a

＝

1

2a

．