Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB<AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交于点N，动点P从点B出发沿射线BA以每秒 厘米

在△ABC中，∠BAC=90°，AB<AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交于点N，动点P从点B出发沿射线BA以每秒 厘米的速度运动，同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP，设运动时间为t秒（t>0）。 （1）△PBM与△PNM相似吗？以图1为例说明理由；（2）若∠ABC=60°，AB=4 厘米，①求动点Q的运动速度；②设△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式；（3）探求 三者之间的数量关系，以图1为例说明理由。

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Answer 1

解：（1） ，理由如下：如图1， ∵ ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）∵ ， ， ∴BC=2AB=8 cm， 又∵MN垂直平分BC， ∴BM=CM=4 cm， ∵∠C=30°，∴MN= CM=4cm， ①设Q点的运动速度为vcm/s， 如图1，当0<t<4时，由（1）知 ， ∴ ，即 ，∴v=1， 如图2，易知当t≥4时，v=1， 综上所述，点Q运动速度为1cm/s； ② ∵AN=AC-NC=12-8=4cm， 如图1，当0<t<4时，AP=4 - t，AQ=4+t， ∴ ， 如图2，当t≥4时，AP= ，AQ=4+t， ∴ ， 综上所述， ； （3） 理由如下： 如图1，延长QM至D，使MD=MQ，连结BD、PD， ∵BC、DQ互相平分， ∴四边形BDCQ是平行四边形， ∴ ， ∵∠BAC=90°， ∴∠PBD=90°， ∴ ， ∵PM垂直平分DQ， ∴PQ=PD， ∴ 。