Question

等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1 +3a 2 =1， a 3 2 =9 a 2 ? a 6 （1）求数列{a n

等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1 +3a 2 =1， a 3 2 =9 a 2 ? a 6 （1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{a n }的前n项和S n ；（3）设b n =log 3 a 1 +log 3 a 2 +…+log 3 a n ，记数列 { 1 b n } 的前n项和为T n ．若对于?n∈N * ，恒有 T n ＞ 1-m 1005 成立，其中m∈N * ，求m的最小值．

Answer 1

（1）设等比数列{a n }的公比为q，则 2a 1 + 3a 1 q=1 a 1 2 q 4 = 9a 1 2 q 6 ，解得a 1 = 1 3 ，q= 1 3 ， ∴a n = 1 3 n ； （2）∴数列{a n }的前n项和S n = 1 3 [1 -( 1 3 ) n ] 1- 1 3 = 1 2 （1- 1 3 n ）； （3）∵b n =log 3 a 1 +log 3 a 2 +…+log 3 a n =-1-2-…-n=- n(n+1) 2 ， ∴ 1 b n =- 2 n(n+1) =-2（ 1 n - 1 n+1 ）， ∴T n =-2[（1- 1 2 ）+（ 1 2 - 1 3 ）+…+（ 1 n - 1 n+1 ）] =-2（1- 1 n+1 ）=- 2n n+1 ． ∵T n ＞ 1-m 1005 恒成立， 即- 2n n+1 ＞ 1-m 1005 恒成立，又m∈N * ， ∴m＞2011- 2 n+1 恒成立， ∴m min =2011．