Question

（2011?普陀区一模）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，点E在线段DC上，EG⊥AC，垂足分别为F

（2011?普陀区一模）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，点E在线段DC上，EG⊥AC，垂足分别为F，G．求证：（1）EGAD＝CGCD；（2）FD⊥DG．

Answer 1

（1）证明：在△ADC和△EGC中，
∵AD是BC边上的高，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠ADC=∠EGC=90°，
又∵∠C为公共角，
∴△ADC∽△EGC，
∴

EG

AD

＝

CG

CD

．

（2）证明：在四边形AFEG中，
∵∠FAG=∠AFE=∠AGE=90°，
∴四边形AFEG为矩形，
∴AF=EG．
由（1）知

EG

AD

＝

CG

CD

，
∴

AF

AD

＝

CG

CD

，
∴

AF

CG

＝

AD

CD

，
∵△ABC为直角三角形，AD⊥BC，
∴∠FAD=∠C，
∴△AFD∽△CGD，
又∠CDG+∠ADG=90°，
∴∠ADF+∠ADG=90°，
即∠FDG=90°，
∴FD⊥DG．