Question

一次函数y=kx+k过点（1，4），且分别与x轴、y轴交于A、B点，点P（a，0）在x轴正半轴上运动，点Q（0，b）

一次函数y=kx+k过点（1，4），且分别与x轴、y轴交于A、B点，点P（a，0）在x轴正半轴上运动，点Q（0，b）在y轴正半轴上运动，且PQ⊥AB．（1）求k的值，并在直角坐标系中画出一次函数的图象；（2）求a、b满足的等量关系式；（3）若△APQ是等腰三角形，求△APQ的面积．

Answer 1

（1）∵一次函数y=kx+k的图象经过点（1，4），
∴4=k×1+k，即k=2，∴y=2x+2，
当x=0时，y=2，当y=0时，x=-1，
即A（-1，0），B（0，2），
如图，直线AB是一次函数y=2x+2的图象；

（2）∵PQ⊥AB
∴∠QPO=90°-∠BAO
又∵∠ABO=90°-∠BAO
∴∠ABO=∠QPO
∴Rt△ABO∽Rt△QPO
∴

AO

QO

＝

OB

OP

，即

1

b

＝

2

a

∴a=2b；

（3）由（2）知a=2b，∴AP=AO+OP=1+a=1+2b，
AQ²=OA²+OQ²=1+b²，PQ²=OP²+OQ²=a²+b²=（2b）²+b²=5b²，
若AQ=PQ，即AQ²=PQ²，则1+b²=5b²，即b=

1

2

或?

1

2

（舍去），
此时，AP=2，OQ=

1

2

，S_△APQ=

1

2

×AP×OQ=

1

2

×2×

1

2

=

1

2

（平方单位），
若AP=PQ，则1+2b=

5

b，即b=2+

5

，此时AP=1+2b=5+2

5

，OQ=2+

5

，
S_△APQ=

1

2

×AP×OQ=

1

2

×（5+2