Question

观察图中小正方形的个数，按规律则第6个图中有______个小正方形，第n个图中有______个小正方形

观察图中小正方形的个数，按规律则第6个图中有______个小正方形，第n个图中有______个小正方形．

Answer 1

前5个图中小正方形的个数分别为：3，6，10，15，21．
从图1开始，把小正方形个数分别用一个数列{a_n}的项来表示，
则正方形的个数构成的数列规律为a₂-a₁=3，a₃-a₂=4，a₄-a₃=5，a₅-a₄=6，
由此推断，a₆-a₅=7，所以，第6个图中小正方形的个数为a₆=a₅+7=21+7=28；
再由a₂-a₁=3
a₃-a₂=4
a₄-a₃=5
…
a_n-a_n-1=n+1
把以上n-1个等式累加得：a_n-a₁=3+4+5+…+（n+1）
=

[3+(n+1)](n?1)

2

=

(n+4)(n?1)

2

．
所以，an＝a1+

(n+4)(n?1)

2

=3+

(n+4)(n?1)

2

=

n2+3n+2

2

．
故答案为28，

n2+3n+2

2

．