Question

如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）将△OA

如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式；（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍，求点N的坐标．

Answer 1

（1）已知抛物线y=x²+bx+c经过A（1，0），B（0，2），
∴

0＝1+b+c 2＝0+0+c

，
解得

b＝?3 c＝2

，
∴所求抛物线的解析式为y=x²-3x+2；（2分）

（2）∵A（1，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2，
可得旋转后C点的坐标为（3，1），（3分）
当x=3时，由y=x²-3x+2得y=2，
可知抛物线y=x²-3x+2过点（3，2），
∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．
∴平移后的抛物线解析式为：y=x²-3x+1；（5分）

（3）∵点N在y=x²-3x+1上，可设N点坐标为（x₀，x₀²-3x₀+1），
将y=x²-3x+1配方得y=（x-

3

2

）²-

5

4

，
∴其对称轴为直线x=

3

2

．（6分）
①0≤x₀≤

3

2

时，如图①，
∵S△NBB1＝2S△NDD1，
∴

1

2

×1×x0＝2×

1

2

×1×(

3

2

?x0)
∵x₀=1，
此时x₀²-3x₀+1=-1，
∴N点的坐标为（1，-1）．（8分）
②当x0＞

3

2

时，如图②，
同理可得

1

2

×1×x0＝2×

1

2

×(x0?

3

2

)，
∴x₀=3，
此时x₀²-3x₀+1=1，
∴点N的坐标为（3，1）．
③当x＜0时，由图可知，N点不存在，
∴舍去．
综上，点N的坐标为（1，-1）或（3，1）．（10分）