Question

如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合）点E在射线BC上，且PB=PE（1）求证：PE⊥

如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合）点E在射线BC上，且PB=PE（1）求证：PE⊥PD；（2）点E在射线BC上时，设AP=x，△PBE的面积为y．求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer 1

解答：（1）证明∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°．
∵PC=PC，
∴△PBC≌△PDC （SAS）．
∴PB=PD，∠PBC=∠PDC．
∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB，
∴∠PEB=∠PDC，
∴∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，
∴∠DPE=360°-（∠BCD+∠PDC+∠PEC）=90°，
∴PE⊥PD；

（2）解：过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE．（如图3）
∵AP=x，AC=

2

，∠ACB=45°，PF⊥BC，
∴PC=

2

-x，PF=FC=1-

2

2

x，BF=FE=1-FC=1-（1-

2

2

x）=

2

2

x，
∴S_△PBE=

1

2

EB?FP=BF?PF=-

1

2

x²+

2

2

x，
∴四边形PECD的面积为y=2S_△BPC-S_△PBE=2S_△PBE=-x²+

2

x．