Question

已知：⊙O1与⊙O2外切于点P，过点P的直线分别交⊙O1、⊙O2于点B、A，⊙O1的切线BN交⊙O2于点M、N，AC为⊙

已知：⊙O1与⊙O2外切于点P，过点P的直线分别交⊙O1、⊙O2于点B、A，⊙O1的切线BN交⊙O2于点M、N，AC为⊙O2的弦．（1）如图（1），设弦AC交BN于点D，求证：AP?AB=AC?AD；（2）如图（2），当弦AC绕点A旋转，弦AC的延长线交直线BN于点D时，试问：AP?AB=AC?AD是否仍然成立？证明你的结论．

Answer 1

解答：
解：（1）过点P作两圆的切线EF，连接CP并延长交⊙O₁于点G，连接BG．
∴∠1=∠C，∠2=∠G．
∵⊙O₁的切线BN交⊙O₂于点M、N，
∴∠3=∠G．
又∠1=∠2，
∴∠C=∠3．
又∠CAP=∠BAD，
∴△APC∽△ADB．
∴

AP

AD

＝

AC

AB

，
即AP?AB=AC?AD．

（2）过点P作两圆的切线EF，连接NP并延长交⊙O₁于点G，连接BG．连接CP，
则∠APF=∠BPE=∠PBN=∠D+∠A，∠CPF=∠A，
则∠APC=∠D．
又∠PAC=∠DAB，
∴△APC∽△ADB．
∴

AP

AD

＝

AC

AB

，
即AP?AB=AC?AD．