如图，正方形ABCD的边长为215，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是____
如图，正方形ABCD的边长为215，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是______．...
如图，正方形ABCD的边长为215，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是______．
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解答：
解：连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC=2
，
∴△BFN∽△DAN，
∴
=
=
，
∵F是BC的中点，
∴BF=
BC=
AD=
，
∴AN=2NF，
∴AN=
AF，
在Rt△ABF中，AF=
=5
，
∴cos∠BAF=
=
=
，
∵E，F分别是AB，BC的中点，AD=AB=BC，
∴AE=BF=
，
∵∠DAE=∠ABF=90°，
在△ADE与△BAF中，
ABF，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠AED=∠AFB，
∴∠AME=180°-∠BAF-∠AED=180°-∠BAF-∠AFB=90°．
∴AM=AE?cos∠BAF=
×
=2
，
∴MN=AN-AM=
AF-AM=
×5
-2
=
，
∴
＝
＝
．
又∵S△AFD=
AD?CD=
×2
解：连接DF，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC=2
| 15 |
∴△BFN∽△DAN，
∴
| AD |
| BF |
| AN |
| NF |
| DN |
| BN |
∵F是BC的中点，
∴BF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 15 |
∴AN=2NF，
∴AN=
| 2 |
| 3 |
在Rt△ABF中，AF=
| AB2+BF2 |
| 3 |
∴cos∠BAF=
| AB |
| AF |
2
| ||
5
|
2
| ||
| 5 |
∵E，F分别是AB，BC的中点，AD=AB=BC，
∴AE=BF=
| 15 |
∵∠DAE=∠ABF=90°，
在△ADE与△BAF中，
|
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠AED=∠AFB，
∴∠AME=180°-∠BAF-∠AED=180°-∠BAF-∠AFB=90°．
∴AM=AE?cos∠BAF=
2
| ||
| 5 |
| 15 |
| 3 |
∴MN=AN-AM=
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 3 |
∴
| S△MND |
| S△AFD |
| MN |
| AF |
| 4 |
| 15 |
又∵S△AFD=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
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