Question

如图，四边形ABCD为正方形，DE ∥ AC，AE=AC，AE与CD相交于F．求证：CE=CF

如图，四边形ABCD为正方形，DE ∥ AC，AE=AC，AE与CD相交于F．求证：CE=CF．

Answer 1

证明：如图所示，顺时针旋转△ADE90°得到△ABG，连接CG． ∵∠ABG=∠ADE=90°+45°=135°， ∴B，G，D在一条直线上， ∴∠ABG=∠CBG=180°-45°=135°， 在△AGB与△CGB中， AB=BC ∠ABG=∠CBG BG=BG ， ∴△AGB≌△CGB（SAS）， ∴AG=AC=GC=AE， ∴△AGC为等边三角形， ∵AC⊥BD（正方形的对角线互相垂直）， ∴∠AGB=30°， ∴∠EAC=30°， ∵AE=AC， ∴∠AEC=∠ACE= 180°-30° 2 =75°， 又∵∠EFC=∠DFA=45°+30°=75°， ∴CE=CF．