Question

已知函数f（x）=x+ m x ，且f（1）=2．（1）求m；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）函数f（x）

已知函数f（x）=x+ m x ，且f（1）=2．（1）求m；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数还是减函数？并证明．

Answer 1

（1）∵f（1）=2，∴1+m=2，m=1． （2）f（x）=x+ 1 x ，f（-x）=-x- 1 x =-f（x），∴f（x）是奇函数． （3）函数f（x）= 1 x +x在（1，+∞）上为增函数，证明如下 设x 1 、x 2 是（1，+∞）上的任意两个实数，且x 1 ＜x 2 ，则 f（x 1 ）-f（x 2 ）=x 1 + 1 x 1 -（x 2 + 1 x 2 ）=x 1 -x 2 +（ 1 x 1 - 1 x 2 ） =x 1 -x 2 - x 1 - x 2 x 1 x 2 =（x 1 -x 2 ） x 1 x 2 -1 x 1 x 2 ． 当1＜x 1 ＜x 2 时，x 1 x 2 ＞1，x 1 x 2 -1＞0，从而f（x 1 ）-f（x 2 ）＜0， 即f（x 1 ）＜f（x 2 ）． ∴函数f（x）= 1 x +x在（1，+∞）上为增函数．