Question

如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E．证明：∠BAE=∠

如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E．证明：∠BAE=∠ACB．

Answer 1

证明：连接OA，OB，OC，BD． ∵OA⊥AP，AD⊥OP， ∴由射影定理可得：PA 2 =PD PO，AD 2 =PD OD． 又由切割线定理可得 PA 2 =P B P C， ∴P B P C=PD PO， ∴D、B、C、O四点共圆， ∴∠PDB=∠PCO=∠OBC=∠ODC，∠PBD=∠COD， ∴△PBD∽△COD， ∴ ， ∴BD CD=PD OD=AD 2 ， ∴ ． 又∠BDA=∠BDP+90°=∠ODC+90°=∠ADC， ∴△BDA∽△ADC， ∴∠BAD=∠ACD， ∴AB是△ADC的外接圆的切线， ∴∠BAE=∠ACB．