Question

数学课上，张老师出示了问题1：如图1，四边形ABCD是正方形，BC=1，对角线交点记作O，点E是边BC延长线上一

数学课上，张老师出示了问题1：如图1，四边形ABCD是正方形，BC=1，对角线交点记作O，点E是边BC延长线上一点．连接OE交CD边于F，设CE=x，CF=y，求y关于x的函数解析式及其定义域．（1）经过思考，小明认为可以通过添加辅助线--过点O作OM⊥BC，垂足为M求解．你认为这个想法可行吗？请写出问题1的答案及相应的推导过程；（2）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC=1”改为“四边形ABCD是平行四边形，BC=3，CD=2，”其余条件不变（如图2），请直接写出条件改变后的函数解析式；（3）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC=1”进一步改为：“四边形ABCD是梯形，AD∥BC，BC=a，CD=b，AD=c（其中a，b，c为常量）”其余条件不变（如图3），请你写出条件再次改变后y关于x的函数解析式以及相应的推导过程．

Answer 1

解：（1）如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OD．
∵OM⊥BC，
∴∠OMB=∠DCB=90°，
∴OM∥DC．
∴OM=

1

2

DC=

1

2

，CM=

1

2

BC=

1

2

．
∵OM∥DC，
∴

CF

OM

=

CE

EM

，
即

y

1 2

=

x

x+ 1 2

，
解得y=

x

2x+1

．定义域为x＞0．

（2）y=

2x

2x+3

（x＞0）．

（3）如右图：
AD∥BC，

BO

OD

=

BC

AD

=

a

c

，

BO

BD

=

a

a+c

．
过点O作ON∥CD，交BC于点N，
∴

ON

DC

=

BO

BD

，
∴ON=

ab

a+c

．
∵ON∥CD，

CN

BN

=

OD

BO

=

c

a

，
∴

CN

BC

=

c

a+c

，
∴CN=

ac

a+c

．
∵ON∥CD，
∴

CF

ON

=

CE

EN

，即

y

ab a+c

=

x

x+ ac a+c

．
∴y关于x的函数解析式为y=

abx

(a+c)x+ac

（x＞0）．