Question

若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关

若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1+x2=-ba，x1?x2=ca，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理，请利用此定理解答一下问题：已知x1，x2是一元二次方程（m-3）x2+2mx+m=0的两个实数根．（1）是否存在实数m，使-x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出m的值，若不存在，请你说明理由；（2）若|x1-x2|=3，求m的值和此时方程的两根．

Answer 1

（1）存在．
∵x₁，x₂是一元二次方程（m-3）x²+2mx+m=0的两个实数根，
∴m-3≠0且△=4m²-4（m-3）?m≥0，
∴m的取值范围为m≥0且m≠3，
根据根与系数的关系得x₁+x₂=-

2m

m?3

，x₁?x₂=

m

m?3

，
∵-x₁+x₁x₂=4+x₂，
∴x₁x₂=4+x₁+x₂，
∴

m

m?3

=4-

2m

m?3

，
∴m=12；

（2）∵|x₁-x₂|=

3

，
∴（x₁-x₂）²=3，即（x₁+x₂）²-4x₁x₂=3，
∴（-

2m

m?3

）²-4×

m

m?3

=3，解得m₁=1，m₂=9，
当m=1时，原方程变形为2x²-2x-1=0，解得x₁=

1+ 3

2

，x₂=

1? 3

2

；
当m=9时，原方程变形为2x²+6x+3=0，解得x₁=

?3+ 3

2

，x₂=

?3? 3

2

．