Question

已知函数f（x）=|x-2|-|2x-a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（-∞，2）时，f（x）

已知函数f（x）=|x-2|-|2x-a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（-∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=3时，由f（x）＞0，得|x-2|-|2x-a|＞0，
即|x-2|＞|2x-3|，
两边同时平方得（x-2）²＞（2x-3）²，
展开整理得3x²-8x+5＜0，即（3x-5）（x-1）＜0，
∴原不等式的解集为(1，

5

3

)．
（2）当x∈（-∞，2）时，由f（x）＜0，得2-x-|2x-a|＜0，
即|2x-a|＞2-x，从而x＞

a+2

3

或x＜a-2，
故问题转化为：a为何值时，由x∈（-∞，2）?x＞

a+2

3

或x＜a-2，
由数轴得2≤a-2，即a≥4．