Question

已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线L交抛物线于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的切

已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线L交抛物线于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M，求点M的轨迹方程．

Answer 1

由抛物线x²=2py得其焦点坐标为F（0，

p

2

）．
设A（x₁，

x12

2p

），B（x₂，

x22

2p

），
直线l：y=kx+

p

2

，代入抛物线方程，得：x²-2kpx-p²=0．
∴x₁x₂=-p²…①．
又抛物线方程求导得y′=

x

p

，
∴抛物线过点A的切线的斜率为

x1

p

，切线方程为y-

x12

2p

=

x1

p

（x-x₁）…②
抛物线过点B的切线的斜率为

x2

p

，切线方程为y-

x22

2p

=

x2

p

（x-x₁）…③
由①②③得：y=-

p

2

．
∴l₁与l₂的交点P的轨迹方程是y=-

p

2

．