Question

已知{an}是公差不等于0的等差数列，a1=2且a2，a4，a5成等比数列，若bn=1n(an+2)，则数列{bn}的前n项饿的

已知{an}是公差不等于0的等差数列，a1=2且a2，a4，a5成等比数列，若bn=1n(an+2)，则数列{bn}的前n项饿的取值范围是[14，12）[14，12）．

Answer 1

设等差数列{a_n}是公差为d，且d不为0，
由a₁=2且a₂，a₄，a₈成等比数列得，（2+4d）²=（2+d）（2+7d），
解得d=2或d=0（舍去），
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n，
则b_n=

1

n(an+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
所以数列{b_n}的前n项和S_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

1

2

[1-

1

n+1

]＜

1

2

，
又n≥1，所以S_n≥

1

4

，
所以数列{b_n}的前n项和S_n的取值范围是[

1

4

，

1

2

），
故答案为：[

1

4

，

1

2

）．