Question

求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵。我想请问一下那个P为什么就是所有基础解系拼起来的呢？原理是什么。

设矩阵A=2 1
1 2 ;
求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵。
恩 可以只讲一下原理， 谢谢了 请指教

Answer 1

P是所有特征向量组成，只要特征向量全部线性无关，就可以左乘特征向量组成矩阵的逆，也就是图中最下面那步

Answer 2

因为特征向量满足Ax=λx
所有的拼起来刚好是
A(x1,x2,...)=(x1,x2...)diag(λ1,λ2,...)

AP=PΛ
也就是P-1AP=Λ

Answer 3

教材口有个定理: n阶方阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量
定理的证明过程就是原理

Answer 4

Ax1=λ1x1 Ax2=λ2x2 。令P=(x1,x2)，
λ=（λ1,0
0，λ2）
则AP=Pλ，有P-1AP=λ

Answer 5