Question

设f(x)= x 3 + x 2 +2ax，（1）若f(x)在( ，+∞)上存在单调递增区间，求a的取值范围；（2）当0＜a＜2

设f(x)= x 3 + x 2 +2ax，（1）若f(x)在( ，+∞)上存在单调递增区间，求a的取值范围；（2）当0＜a＜2时，f(x)在[1，4]上的最小值为 ，求f(x)在该区间上的最大值。

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Answer 1

解：（1）已知 ， ∴ ， 函数f(x)在 上存在单调递增区间，即导函数在 上存在函数值大于零的部分， ∴ ； （2）已知0＜a＜2，f(x)在[1，4]上取到最小值 ， 而 的图像开口向下，且对轴轴 ， ∴ ， ， 则必有一点 使得 ， 此时函数f(x)在 上单调递增，在 上单调递减， ， ∴ ， ∴ ， 此时，由 或-1（舍去）， 所以函数的最大值 。