Question

（2008?山东）将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10…

（2008?山东）将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10…记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{bn}，b1=a1=1．Sn为数列{bn}的前n项和，且满足2bnbnSn?S2n＝1(n≥2)．（Ⅰ）证明数列{1Sn}成等差数列，并求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a81＝?491时，求上表中第k（k≥3）行所有项的和．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由已知，当n≥2时，

2bn

bnSn? S 2n

＝1，又S_n=b₁+b₂+…+b_n，
所以

2(Sn?Sn?1)

(Sn?Sn?1)Sn? S 2n

＝1?

2(Sn?Sn?1)

?Sn?1Sn

＝1?

1

Sn

?

1

Sn?1

＝

1

2

，
又S₁=b₁=a₁=1．所以数列{

1

Sn

}是首项为1，公差为

1

2

的等差数列．
由上可知

1

Sn

＝1+

1

2

(n?1)＝

n+1

2

，?Sn＝

2

n+1

．
所以当n≥2时，bn＝Sn?Sn?1＝

2

n+1

?

2

n

＝?

2

n(n+1)

．
因此bn＝

1，n＝1 ? 2 n(n+1) ，n≥2

（Ⅱ）设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q＞0．
因为1+2+…+12＝

12×13

2

＝78，
所以表中第1行至第12行共含有数列{a_n}的前78项，故a₈₁在表中第13行第三列，
因此a81＝b13?q2＝?

4

91

．又b13＝?

2

13×14

，所以q=2．
记表中第k（k≥3）行所有项的和为S，
则S＝

bk(1?qk)

1?q

＝?

2

k(k+1)

?

(1?2k)

1?2

＝

2

k(k+1)

(1?2k)(k≥3)．