Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-1（n∈N+ ）．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）设bn=an+1(a

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-1（n∈N+ ）．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）设bn=an+1(an+1)(an+1+1)(n∈N+)，求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）由已知S_n=2a_n-1
当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，得a₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1），所以a_n=2a_n-1，
所以数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以a_n=2^n-1（n∈N₊ ）．
（2）b_n=

an+1

(an+1)(an+1+1)

=2（

1

2n+1+1

?

1

2n+1

），
∴T_n=2[（

1

2

?

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n+1+1

?

1

2n+1

）]=2（

1

2

?

1

2n+1

）=

2n?1

2n+1

．