Question

如图，直角坐标系中，请你写出△ABC的各个顶点的坐标，并求出△ABC的面积

如图，直角坐标系中，请你写出△ABC的各个顶点的坐标，并求出△ABC的面积．

Answer 1

①A（2，-1），B（4，3），C（1，2）；

②已知网格边长为1个单位，利用凑整法把△ABC扩展到直角梯形AEDB，
S_梯形BDEA=

1

2

(BD+AE)?ED
=

1

2

×(3+1)×4
=8
S_△BDC=

1

2

?BD?DC
=

1

2

×1×3
=

3

2

S_△AEC=

1

2

?EC?AE
=

1

2

×3×1
=

3

2

则S_△ABC=S_梯形BDEA-S_△BDC-S_△AEC=5
所以△ABC的面积为5个平方单位．

Answer 2

方法一：补形
把三角形外部补成长方形，如上图abc外面补成x轴[-1,4],y轴[-1,3]的矩形区域，总面积20，减掉左上右上右下三个三角形面积，左上三角形面积4，右上面积1.5，右下7.5，最终得到三角形面积为20-4-1.5-7.5=7
方法二：向量叉积运算
向量运算有种运算方法叫做叉积，可以方便计算三角形面积。
向量ac=c（坐标）-a（坐标）=（1,3）-（-1，-1）=（2,4）
同理向量ab=b(坐标)-a（坐标）=（5,3）
然后计算出向量ac与ab的叉积=（2,4）×（5,3）=2*3-4*5=-14（这里的
×是叉积的符号，不是乘法，更不能简化为·）
三角形面积等于三角形两边向量叉积绝对值的一半（叉积原本计算的就是平行四边形的面积），所以等于|-14|÷2=7
方法三：坐标系多边形面积统计法
在直角坐标系中，多边形的面积可以简单统计，具体方法是：
1.数出该多边形的边“经过”的点数量比如三角形abc中ac边起于（-1，-1）止于（1,3），中间还经过了点（0,2），算经过3个点。三角形abc共经过4个点。
2.数出多边形“包含”的点数，这是指多边形包围起来的点数量，比如这里的原点（0,0），（1,1）等6个点。
3.有一个公式可以套用，经过的点数除以2加上包含的点数，最后减去1，得到多边形的面积。
这里，已经知道三角形abc经过的点数量4，包含的点数量6，计算得面积=4÷2+6-1=7