Question

已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于点P，Q．（Ⅰ）若|PF|=3（点P在第一象限），求直

已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于点P，Q．（Ⅰ）若|PF|=3（点P在第一象限），求直线l的方程；（Ⅱ）求证：OP?OQ为定值（点O为坐标原点）．

Answer 1

（Ⅰ）∵抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于点P，Q，
∴设P（x₀，y₀），由题意，x₀＞0，且y₀＞0．
∵点P在抛物线C上，且|PF|=3，
∴点P到准线x=-1的距离为3．
∴x₀+1=3，解得x₀=2．…（2分）
又∵y02＝4x0，y₀＞0，
∴y0＝2

2

，∴P（2，2

2

），
∵F（1，0），…（4分）
∴直线l的方程为y=2

2

（x-1），即y=2

2

x-2

2

．…（5分）
（Ⅱ）由题意可设直线l的方程为：x=my+1．
由

x＝my+1 y2＝4x

，得y²-4my-4=0．…（7分）
△=16m²+16＞0恒成立．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

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