Question

设函数f（x）=ax2-ax-lnx．（1）若a=1，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥1时恒有f（x）≥0，求实数a的取

设函数f（x）=ax2-ax-lnx．（1）若a=1，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥1时恒有f（x）≥0，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）a=1时，f（x）=x²-x-lnx，（x＞0）；
∴f′（x）=2x?1?

1

x

=

(2x+1)(x?1)

x

；
∴x∈（-∞，?

1

2

）时，f′（x）＞0；x∈（?

1

2

，1）时，f′（x）＜0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．
∴（-∞，?

1

2

]，（1，+∞）是函数f（x）的单调递增区间；(?

1

2

，1]是单调递减区间．
（2）f′（x）=2ax-a-

1

x

=

2ax2?ax?1

x

；
令g（x）=2ax²-ax-1=a（2x²-x）-1；
①当a＞0时，g′（x）=4ax-a=a（4x-1）＞0；
∴g（x）在[1，+∞）上是增函数．
∴g（x）_min=g（1）=a-1．
当a≥1时，g（x）_min≥0；
∴f′（x）≥0，∴函数f（x）在[1，+∞）上单调递增；
∴f（x）≥f（1）=0；
∴a≥1满足题意．
当0＜a＜1时，g（x）_min＜0，∴函数g（x）有唯一的零点，设为x₀，则：
x∈（1，x₀），g（x）＜0，∴f′（x）＜0，∴函数f（x）在（1，x₀）上单调递减；
∴f（x）＜f（1）=0，∴0＜a＜1不合题意．
②当a≤0时，g（x）＜0，∴f′（x）＜0；
∴函数f（x）∴在（1，+∞）上单调递减．
∴f（x）＜f（1）=0，∴a≤0不合题意．
综上可知：a的取值范围是[1，+∞）．